Ecuaciones de Bernoullin


Método para solucionar la ecuación diferencial de Bernoulli mediante sustitución.
Para solucionar la ecuación diferencial y’+p(x)y=f(x)y^n se procede a realizar la sustitución u=y^(1-n).
La nueva ecuación tendrá como variable dependiente a u, pero para ello se debe despejar a “y” y encontrar la derivada con respecto a x para hacer la sustitución.
La nueva ecuación en términos de u y x será una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede solucionarse mediante el uso de un factor integrante.
Una vez solucionada esta ecuación para u se procede a hacer el cambio por su equivalente en y con lo cual la ecuación diferencial será solucionada
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En este video veremos como solucionar una ecuación diferencial muy especial conocida como la ecuación diferencial de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli tiene la siguiente forma: y’+p(x)y=f(x)y^n, como vemos esta ecuación se parece mucho a una ecuación diferencial lineal. Para resolver este tipo de ecuación vamos a hacer uso de la siguiente sustitución, vamos a decir que u=y^(1-n), al hacer esta sustitución lo que vamos a hacer es convertir la ecuación original que está en términos de y y de x a una ecuación en términos de u y de x. Veremos que una vez que tengamos la ecuación en términos de u y de x el problema se reduce a resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Veremos el procedimiento descrito utilizando un problema numérico, nos dicen entonces que resolvamos la siguiente ecuación: xy’+y=1/y^2, entonces para que esta ecuación adquiera la forma deseada tenemos que dividirla por el término x, una vez dividimos por x, la ecuación adquiere la siguiente forma: y’+y/x=1/[x(y^2)) ó y’+(x^-1)y= (x^-1)( y^-2), una vez tenemos la forma deseada, lo que debemos hacer es realizar la sustitución recomendada inicialmente, decimos entonces que u es igual a y elevado a la uno menos n, como vemos, para nuestro caso n=2, entonces tenemos u=y^(1-(-2))=y^3, si despejamos a y de la ecuación anterior, vemos que y=u^(1/3) y que la derivada de y es igual a y’=(1/3)u^(-2/3)du/dy, sustituyendo estos valores en la ecuación, esta adquiere la forma: (1/3)u^(-2/3)du/dy + (x^-1)[u^(1/3)]= (x^-1)[ u^(-2/3)]. Esta nueva ecuación en términos de u y x es una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede solucionarse mediante el uso de un factor integrante. Una vez se soluciona esta ecuación para u se procede a hacer el cambio por su equivalente en y con lo cual la ecuación diferencial será solucionada.

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